L'ami Ludovic Bisot, fromager à la curiosité vive et l'imagination débordante, pose une question qui paraît toute simple:

J'ai fait de la cervelle de canut, en pots ronds ; puis j'ai rangé les pots dans une caisse rectangulaire. J'ai commencé à les mettre de façon très alignée (photo de gauche) : il en tient 18 (ou 19). Puis je les ai disposés de façon moins organisée (à droite) : il en tient 21.

J'adore ces problèmes qui s'expriment simplement mais qui ne se laissent pas résoudre aisément... En jouant un peu avec l'idée dans ma tête, je sens intuitivement que s'il y a une heuristique, elle ne sera pas simple. Une recherche rapide m'amène à une considération similaire : pour un nombre donné de cercles, quel est le plus petit carré dans lequel les faire rentrer ? En regardant les motifs qui en résultent, on voit bien que certaines solutions ne sont pas le résultat du simple "bon sens"... De plus, la page précise que les solutions ne sont pas nécessairement optimales ...

Du coup, ça me titille, me tracasse, me turlupine...

Première exploration

Dans un premier temps, j'essaie de borner le résultat : trouver un nombre de pots que le bac peut trivialement contenir et mesurer l'espace restant disponible. De manière à établir un minimum et un maximum.

La simulation ci-dessous utilise trois méthodes et choisit celle qui permet de réunir le plus de pots dans le bac.

• méthode 1: côte à côte, rangés en carrés
• méthode 2: en nid d'abeille, orienté horizontalement
• méthode 3: en nid d'abeille, orienté verticalement

La longueur et la largeur sont exprimées en largeur de pot : on prétend que le diamètre du pot vaut 1.

L'espace disponible tel qu'il est calculé me semble très surestimé, mais je ne me l'explique pas encore. Je le calcule en retirant de la surface du bac, celle occupée par les pots, puis je corrige par la densité maximale de l'empilement et je divise la surface résultante par celle occupée par un pot. Cette méthode me paraît raisonnable, mais elle donne un résultat qui me laisse perplexe.

Les trois méthodes de remplissage sont naïves et je compte en développer d'autres au fur et à mesure que des idées se présente. Par exemple, la difference entre une configuration (1.499, 5.999) et (1.500, 5.999) illustre que l'on peut faire tenir trivialement le pot supplémentaire dans des bacs plus étroits. A suivre, donc...